Коротко: домен — это адрес сайта в интернете, а хостинг — место, где физически лежат его файлы. Нужны оба: без домена посетитель сайт не найдёт, без хостинга страницам негде храниться.
Удобно представить обычный дом. Домен — почтовый адрес, по которому вас находят. Хостинг — само помещение, куда по этому адресу приходят гости: в нём расставлена мебель, лежат вещи. Можно снять помещение, но не иметь адреса — и наоборот. Покупаются эти две услуги тоже отдельно, хотя часто продаются в одном личном кабинете у одного провайдера. Это не обязательно: домен можно держать у одного регистратора, а хостинг — у другого.
Что происходит, когда вы вводите адрес в браузере
Имя сайта само по себе компьютеру ничего не говорит: ему нужен цифровой IP-адрес сервера. Браузер обращается к системе DNS, которая по доменному имени находит нужный IP, затем связывается с сервером по этому адресу, а сервер отдаёт страницу. Поэтому за буквенным адресом и «местом» стоят разные технологии и разные услуги.
Что покупает владелец
Домен не покупают навсегда — его арендуют на срок и продлевают: в .ru, .рф и .su регистрация оформляется ровно на год, в .com и .net — на срок до 10 лет. Хостинг оплачивается иначе: обычно помесячно или сразу за год, и от того, оплачен ли он, зависит доступность сайта. О том, что именно называют доменом, подробно рассказано в отдельном ответе «Что такое домен?».
Частые заблуждения. «Купил домен — значит, есть сайт»: домен лишь адрес, файлы нужно где-то разместить. «Перенёс домен к другому регистратору — сайт переехал»: смена регистратора не трогает файлы, сайт остаётся там же, где и был. «Домен и хостинг обязательно у одного провайдера»: не обязательно, хотя так удобнее оплачивать и настраивать.
Хостинг бывает разный
Это влияет на цену и возможности. Виртуальный — несколько сайтов делят один сервер, самый доступный вариант для небольших проектов. VPS/VDS — своя изолированная часть сервера с большей свободой настроек. Выделенный сервер — всё оборудование целиком под один проект; колокация — когда вы привозите собственный сервер в дата-центр провайдера.